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@Maggui Hola Maggi! Porque fijate que, nosotros cuando nos imaginamos que va a pasar cuando $n$ sea muuuuy grande, pensamos en "quién manda"... en el denominador $2^n$ le recontra gana a cualquier polinomio, como $n^2$. Acordate de sucesiones que, tener la $n$ en el exponente le gana a los polinomios (o sea, "es el que manda") y a su vez el que le ganaba a todos era $n!$. Entonces, cuando $n$ sea muy grande, ese $n^2$ va a ser despreciable ahí sumando, asi que va a ser casi como tener únicamente $2^n$.
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@Leon Hola León! Sisi, con el criterio del paso al límite también lo podés justificar, sale por cualquiera de los dos :)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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4.
Decida si cada una de las siguientes series es convergente o divergente:
h) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\sin^{3}(n)}{2^{n}+n^{2}}$
h) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\sin^{3}(n)}{2^{n}+n^{2}}$
Respuesta
En este caso, mirando la expresión de nuestra serie:
Reportar problema
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\sin^{3}(n)}{2^{n}+n^{2}}$
podemos sospechar que, cuando $n$ sea muuuy grande, se va a comportar igual que
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n$
que sabemos que converge por ser una serie geométrica con $r < 1$
En este caso podemos usar el criterio de comparación directa, que también vimos en la segunda clase de Series positivas. En este caso fijate que:
$ 2 + \sin^3(n) \leq 3 $ (porque acordate que el seno oscila entre $1$ y $-1$)
y además
$ 2^n + n^2 \geq 2^n $
Entonces, podemos afirmar que:
$ \frac{2 + \sin^3(n)}{2^n + n^2} \leq \frac{3}{2^n} $
Y la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{2^n}$, que también la podemos escribir como $3 \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n$, sabemos que converge. Entonces, por el criterio de comparación directa podemos afirmar que nuestra serie también converge.
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Maggui
24 de junio 18:34
hola Flor, una pregunta, por qué comparas 2^n+ n^2 con 2^n? o sea por qué se compara con 2^n y no otro numero?
Flor
PROFE
25 de junio 9:26
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Leon
20 de junio 15:04
buenas, una pregunta, no se podria usar el criterio de paso al limite de una? sin tener que usar el de comparación directa antes
Flor
PROFE
21 de junio 9:37
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